论坛 › 计算机数学 › 因子和相等的连续数

123456789 发表于 2024-2-21 04:35:12

因子和相等的连续数

用记号σ(n)来表示自然数n的所有因子和。比如：σ(15)=1+3+5+15=24.
1): 观察发现σ(14)=σ(15)=24，求10^8以内所有这样的数对(n,n+1).
2): 能否找到满足σ(n)=σ(n+1)=σ(n+2)的三元数组(n,n+1,n+2)？

oasuoxi 发表于 2024-2-21 04:35:56

让人不禁想起亲和数对(m,n): σ(n) = σ(m) = m + n
和伙（m,n,p): σ(n) = σ(m) = σ(p) = m + n + p

anaboewako 发表于 2024-2-21 04:36:16

那你的问题只能构造
质数p, q, r, s满足
p + q + pq = r + s + rs
pq = rs + 1
这样的方程求了

ugejoleyaz 发表于 2024-2-21 04:36:53

假设p = 3,r = 2
则
3 + q + 3q = 2 + s + 2s
即1 + 4q = 3s
3q = 2s + 1
只有一组解

似乎说明
对每个素数对
(p, r)如果解出的(q, s)是素数对
则得到一组你说的数

icakeekohude 发表于 2024-2-21 04:37:19

考虑上面的假设两个都是双素因子数
n = rs, n+1 = pq

p + q + pq = r + s + rs
pq = rs + 1

假设p, r已知
则

(1+p)q - (1+r)s = r - p
pq- rs = 1

解线性方程组
得到

s = p - (p+1)/(r-p)
q = (1+rs) / p

Geraldufas 发表于 2024-2-21 04:37:26

但是， n和n+1不一定是双素因子形式的啊。
比如：206=2*103和207=3*3*23。

evuojad 发表于 2024-2-21 04:37:59

不同的不好分析啊

akomosuse 发表于 2024-2-21 04:38:19

很少结果呀
10^9以内所有结果为:
14,24
206,312
2974,4464
4364,7644
18873,28314
19358,29040
174717,262080
1591406,2387112
14327037,21490560
129113918,193670880
其中第一列为n,第二列为σ(n) =σ(n+1)
计算过程大概花费了两分钟，要不要更加大范围的数据？
程序时间复杂度大概为O(nlog(n)),所以基本上能够估计出来多长时间可以计算到多大的范围

Elishslots 发表于 2024-2-21 04:39:04

又找到两个结果:
10459762713,15689644074
10460117006,15690175512

uzmetub 发表于 2024-2-21 04:39:27

mathe说一下算法.

查看完整版本: 因子和相等的连续数